Question

已知函数f(x)=1/x-x+alnx，求单调性

Answer 1

f(ⅹ)=(1/x)-x+a㏑ⅹ，则
f′(ⅹ)=(-1/x²)-1+(a/x)
=(-x²+aⅹ-1)/x²
设g(x)=-x²+ax-1，这是
一开口向下的抛物线.

①△=a²-4<0，即-2<a<2时，
g(x)<0恒成立，
此时f′(x)<0恒成立，
此时函f(x)单调递减.

②△=a²-4≥O，即a≥2或a≤-2时，
g(x)≥0成立，
此时f′(x)≥0成立，
故此时f(x)单调递增。

Answer 2

求导

Answer 3

f（x）定义域为（0，+∞），
f′(ⅹ)=(-1/x²)-1+(a/x) =(-x²+aⅹ-1)/x²
设g(x)=x²-ax+1，△=a²-4，
①当-2≤a≤2时，△≤0，g(x）≥0，f′（x）≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，
②当a＜-2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，
③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x1=（a-√(a²-4）)/2，x2=（a+√(a²-4）)/2，
当0＜x＜x1时，f′（x）＜0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0；当x＞x2时，f′（x）＜0；
故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增．