Question

原函数是否存在

Answer 1

原函数存在的条件是:连续/无第一间断点/无无穷间断点.
而可积的条件是:连续/单调/有界且间断点个数有限
那麼这样就好找了,只要找一个有界并且有一个第一间断点的函数,不就是可积但不存在原函数了吗?
f(x)=1,x≥0.=-1,x<0这个分段函数,在[-1,1]上明显有界,且x=0是第一间断点,那麼就是可积但没有原函数的例子.

Answer 2

1.如果f(x)连续，则一定存在原函数；
2.如果f(x)不连续，有第一类可去、跳跃间断点或第二类无穷间断点，那么包含此间断点的区间内，一定不存在原函数；
3.如果f(x)不连续，有第二类振荡间断点，那么包含此间断点的区间内，原函数可能存在，也可能不存在。

Answer 3

一个函数的原函数存在，当且仅当该函数在给定的区间上连续且可积。如果一个函数在给定的区间上连续且可积，则其一定存在原函数。反之，如果一个函数在给定的区间上不连续或者不可积，则其可能不存在原函数。
需要注意的是，即使一个函数在给定的区间上连续可积，其原函数也可能无法用有限的初等函数（例如常见的幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等）表示出来。这时候可以考虑使用级数展开、积分变换、数值计算等方法来近似求解原函数。