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解：分享两种解法。
①用古典概率的定义求解。x²+y²≤9a²的圆域面积SD1=9πa²，椭圆方程x²+9y²≤9a²可变形为x²/9a²+y²/a²≤1，即长轴为3a、短轴为a的椭圆域，其面积SD2=π(3a)a=3πa²。∴p=SD2/SD1=1/3。
②用定积分求解。由x²+9y²≤9a²，可得x∈[-3a,3a]、-√(a²-x²/9)≤y≤√(a²-x²/9)。利用对称性,
∴p=P(x²+9y²≤9a²)=∫(-3a,3a)dx∫(-√(a²-x²/9),√(a²-x²/9)f(x,y)dy=4∫(0,3a)√(a²-x²/9)dx/(9πa²)。
设x=3asint，∫(0,3a)√(a²-x²/9)dx=3a²∫(0,π/2)cos²tdt=(3a²/2)∫(0,π/2)(1+cos2t)dt=3a²π/4,
∴p=4(3a²π/4)/(9πa²)=1/3。
供参考。
①用古典概率的定义求解。x²+y²≤9a²的圆域面积SD1=9πa²，椭圆方程x²+9y²≤9a²可变形为x²/9a²+y²/a²≤1，即长轴为3a、短轴为a的椭圆域，其面积SD2=π(3a)a=3πa²。∴p=SD2/SD1=1/3。
②用定积分求解。由x²+9y²≤9a²，可得x∈[-3a,3a]、-√(a²-x²/9)≤y≤√(a²-x²/9)。利用对称性,
∴p=P(x²+9y²≤9a²)=∫(-3a,3a)dx∫(-√(a²-x²/9),√(a²-x²/9)f(x,y)dy=4∫(0,3a)√(a²-x²/9)dx/(9πa²)。
设x=3asint，∫(0,3a)√(a²-x²/9)dx=3a²∫(0,π/2)cos²tdt=(3a²/2)∫(0,π/2)(1+cos2t)dt=3a²π/4,
∴p=4(3a²π/4)/(9πa²)=1/3。
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2024-10-28 广告
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那些还没学，不会╮(╯▽╰)╭
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