Question

下列无穷积分收敛的是什么？

Answer 1

A积分结果e^x，无穷大不收敛，
B积分结果-1/x=1，收敛
C积分结果3/2x^(3/2),无穷大不收敛
D积分结果xlnx+ ∫(无穷大，1)dx,显然不收敛
∫(e,1)xlnxdx，令t=lnx，x=e^t，x=e时t=1,x=1时t=0,故换元之后的结果 ∫(1,0)t*e^tde^t,分部积分
∫(1,0)t*e^2tdt=1/2 ∫(1,0)tde^2t=1/2*t*e^2t-1/2∫(1,0)e^2tdt=1/2*e^2-1/4∫(1,0)de^2t=1/2*e^2-1/4*e^2+1/4
=1/4*e^2+1/4

Answer 2

A积分结果e^x，无穷大不收敛。
B积分结果-1/x=1，收敛。
C积分结果3/2x^(3/2),无穷大不收敛。
D积分结果xlnx+ ∫(无穷大，1)dx,显然不收敛。
∫(e,1)xlnxdx，令t=lnx，x=e^t，x=e时t=1,x=1时t=0,故换元之后的结果 ∫(1,0)t*e^tde^t,分部积分。

∫(1,0)t*e^2tdt=1/2 ∫(1,0)tde^2t=1/2*t*e^2t-1/2∫(1,0)e^2tdt=1/2*e^2-1/4∫(1,0)de^2t=1/2*e^2-1/4*e^2+1/4
=1/4*e^2+1/4。

定积分概念的推广至积分区间无穷和被积函数在有限区间上为无界的情形成为广义积分，又名反常积分。其中前者称为无穷限广义积分，或称无穷积分；后者称为无界函数的广义积分，或称瑕积分。

无穷积分

设函数f(x)定义在[a,+∞)上。设f(x)在任意区间[a,A](A>a)上可积，我们称极限

 

为f(x)在[a,+∞)上的无穷积分。记作

类似可定义在[-∞,b]上的无穷积分

设函数f(x)在

 

上连续，如果广义积分

 

和

 

存在，则f(x)在

 

上广义积分定义为：

Answer 3

A积分结果e^x，无穷大不收敛，

B积分结果-1/x=1，收敛，

C积分结果3/2x^(3/2),无穷大不收敛，

D积分结果xlnx+ ∫(无穷大，1)dx,显然不收敛，

∫(e,1)xlnxdx，令t=lnx，x=e^t，x=e时t=1,x=1时t=0,故换元之后的结果 ∫(1,0)t*e^tde^t,分部积分，

∫(1,0)t*e^2tdt=1/2 ∫(1,0)tde^2t=1/2*t*e^2t-1/2∫(1,0)e^2tdt=1/2*e^2-1/4∫(1,0)de^2t=1/2*e^2-1/4*e^2+1/4
=1/4*e^2+1/4

积分收敛是针对反常积分（非正常定积分，也称为广义积分）而言的。反常积分有两类：无穷积分（积分区间是无限区间）、瑕积分（被积函数在积分区间内是无界函数），具体到这两类积分收敛是什么意思，涉及篇幅太大，建议百度“广义积分”看看。

Answer 4

A积分结果e^x，无穷大不收敛，
B积分结果-1/x=1，收敛
C积分结果3/2x^(3/2),无穷大不收敛
D积分结果xlnx+ ∫(无穷大，1)dx,显然不收敛
∫(e,1)xlnxdx，令t=lnx，x=e^t，x=e时t=1,x=1时t=0,故换元之后的结果 ∫(1,0)t*e^tde^t,分部积分
∫(1,0)t*e^2tdt=1/2 ∫(1,0)tde^2t=1/2*t*e^2t-1/2∫(1,0)e^2tdt=1/2*e^2-1/4∫(1,0)de^2t=1/2*e^2-1/4*e^2+1/4
=1/4*e^2+1/4