Question

关于两道二重积分的题

关于两道二重积分的题如图所示，碰到这类分段的不会，麻烦会的大佬给个解释书写过程

Answer 1

答案第一题：24π 第二题、曲面积分形式：∫∫_(Σ) dS 二重积分形式：∫∫_(D) a/√(a2 - x2 - y2) dxdy 最后数值：a2(π - 2) 第一题： z = √(9 - x2 - y2)，1 ≤ z ≤ 3 z'x = - x/√(9 - x2 - y2)，z'y = - y/√(9 - x2 - y2) dS = √[ 1 + (x2 + y2)/(9 - x2 - y2) ] = 3/√(9 - x2 - y2) 取z = 1，D为x2 + y2 ≤ 8 ∫∫_(Σ) (2x + z) dS，Σ关于xy轴都对称，而x是奇函数，所以∫∫_(Σ) x dS = 0 = ∫∫_(Σ) z dS = ∫∫_(D) √(9 - x2 - y2) * 3/√(9 - x2 - y2) dxdy = 3∫∫_(D) dxdy = 3 * 8π = 24π 第二题：取Σ为z = √(a2 - x2 - y2)，取D为x2 + y2 = ax z'x = - x/√(a2 - x2 - y2)，z'y = - y/√(a2 - x2 - y2) dS = √[ 1 + (x2 + y2)/√(a2 - x2 - y2) ] = a/√(a2 - x2 - y2) 把D化为极坐标形式：r = a cosθ，- π/2 ≤ θ ≤ π/2 曲面面积为 ∫∫_(Σ) dS <-- 这是曲面积分形式 = ∫∫_(D) a/√(a2 - x2 - y2) dxdy <-- 这是二重积分形式 = a∫(-π/2,π/2) dθ ∫(0,a cosθ) 1/√(a2 - r2) * r dr，继续化简 = a∫(-π/2,π/2) [ - √(a2 - r2) ]|(0,a cosθ) dθ = a∫(-π/2,π/2) a ( 1 - |sinθ| ) dθ = a2 * 2∫(0,π/2) ( 1 - sinθ ) dθ = 2a2 * (π - 2)/2 = a2(π - 2)