Question

高中数学：求高人帮我看下这样证明这个不等式严谨吗？

α是锐角,证明:sinα<α<tanα

证明：
构建函数f(x)=sinα g(x)=α z(x)=tanα
显然f(x) ,g(x) ,z(x)在（0，π）是单调递增的
当x=0时，有f(x)=g(x)= z(x)
又因为α∈（0，π）
所以 0<f'(x)=cosα<1 g'(x)=1 1< z(x)= 1 / cosα
由导数的几何意义可得：
f(x)<g(x)< z(x)在（0，π）上恒成立
即sinα<α<tanα
2楼的没错 改一下`
证明：
构建函数f(x)=sinx g(x)=x z(x)=tanx
显然f(x) ,g(x) ,z(x)在（0，π）是单调递增的
当x=0时，有f(x)=g(x)= z(x)
又因为α∈（0，π/2）
所以 0<f'(x)=cosx<1 g'(x)=1 1< z(x)= 1 / cosx
由导数的几何意义可得：
f(x)<g(x)< z(x)在（0，π/2）上恒成立
即sinα<α<tanα

2楼的例子明白了 但是可能你没有看清我的证明那里有个前提：当x=0时，有f(x)=g(x)= z(x)。我想表达的就是此时三个函数是共起点的，而你说的例子当x=1/2时，两函数不共起点且f(x)>g(x)。

Answer 1

证明中有些错误。
(1)f(x)=sinα g(x)=α z(x)=tanα
把α换成x.
(2)由f'(x)<g'(x)推出f(x)<g(x).不成立.
反例：f(x)=x,g(x)=x^2,x属于(1/2,1).
f'(x)=1,g'(x)=2x.
则f'(x)<g'(x),x属于(1/2,1).
而f(x)-g(x)=x-x^2
=x(1-x)>0,
即f(x)>g(x).
故f'(x)<g'(x)不一定推出f(x)<g(x).

为什么？作出它们的图形，再取一点作切线，就可以看出。

(3)α是锐角,α属于(0,π/2).

你的证明可修改为：
证明：构建函数f(x)=sinx,g(x)=x,z(x)=tanx,x属于[0,π/2).
(1)由于f(x)-g(x)=sinx-x,x属于[0,π/2),
则
f'(x)-g'(x)=cosx-1<=0.
当且仅当x=0时，等号成立.
即f(x)-g(x)在[0,π/2)上严格单调递减.
因此当0<α<π/2,即α是锐角时,
f(α)-g(α)<f(0)-g(0)=0.
即sinα<α.

(2)由于g(x)-z(x)=x-tanx,x属于[0,π/2),
则
g'(x)-z'(x)=1-1/cosx
=(cosx-1)/cosx<=0.
当且仅当x=0时，等号成立.
即g(x)-z(x)在[0,π/2)上严格单调递减.
因此当0<α<π/2,即α是锐角时,
g(α)-z(α)<g(0)-z(0)=0.
即α<tanα.
综上,α是锐角时,sinα<α<tanα.

Answer 2

不严谨,用f(x)=sinα-α ,g(x)=α-tanα,求导数证明f(x)=sinα-α <0,g(x)=α-tanα<0，我推荐用三角函数线证明.