Question

韦达定理

Answer 1

设一个n次方程为x^n+p1.x^(n-1)+p.2x^(n-2)+...+p(n-1).x+pn=0 ，它的n个根为x1,x2,x3,x4,......xn，
则有x1+x2+x3+...+xn=-p1, x1.x2+x1.x3+x1.x4+...+x1.xn+x2.x3+x2.x4+x2.x5+...+x2.xn+...+x(n-1).xn=p2,
x1.x2.x3+x1.x2.x4+...+x1.x2.xn+x2.x3.x4+x2.3.x5+...+x2.x3.xn+...+x(n-2).x(n-1).xn=-p3
................
x1.x2.x3.x4.x5...x(n-1)+x2.x3.x4.x5.x6...xn=p(n-1).(-1)^(n-1)
x1.x2.x3.x4.x5...xn=pn.(-1)^n 这就是著名的韦达定理

当n=2时，代入得x^2+p1.x+p2=0 ，则此时有x1+x2=-p1,x1.x2=p2
证明：∵x1=[-b+(b^2-4ac)^(1/2)]/2a ，x2=[-b-(b^2-4ac)^(1/2)]/2a
∴x1+x2=1/2a.(-2b)=-b/a,
x1.x2=(1/2a)^2.[(-b)^2-(b^2-4ac)]=1/4a^2.4ac=c/a
由a=1,b=p1,c=p2 ，代入得x1+x2=-p1,x1.x2=p2

注明：x(n-1)意思是x的第n-1个根，而不是x与(n-1)的乘积
(b^2-4ac)^(1/2)的意思是根号下b^2-4ac
（不好意思，刚才那些从WORD中复制下来的代数式没有粘贴上来）