Question

高等数学 曲面积分

高等数学 曲面积分按照高斯公式并没有算出答案

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Answer 1

1：由于是有方向性的，所以有 “偶零奇倍”性质，跟一般情况相反的 F(x)是偶函数时，若Σ关于相应的面是对称的，一个部分取 +，一个部分取 - 结果就是F(x) - F(- x) = F(x) - F(x) = 0，两个部分互相抵消了 F(x)奇函数时，同样情况，一个部分取 +，一个部分取 - 结果就是F(x) - F(- x) = F(x) + F(x) = 2F(x)，两个部分的积分都相等，可叠加 2：三合一公式对于Σ是z = z(x,y)形式的法向量n = ± { - z'x，- z'y，1 } 则∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = ± ∫∫_(D) { P(- z'x) + Q(- z'y) + 1 } dxdy 取上/右/前 侧时，取 + 号取下/左/后 侧时，取 - 号 3：高斯公式 ∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = ± ∫∫∫_(Ω) (?P/?x+?Q/?y+?R/?z) dxdydz - ∫_(Σ和) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 后面(Σ和)那部分，若原本给的曲面是不能围成封闭空间的话，不能直接使用高斯公式，需要补上几个面后使得区域封闭，例如补上若干个(Σ和)曲面，就可以运用高斯公式了，还要注意最后要减少所补上那几个曲面(Σ和)相应的积分 4：挖洞若在Σ上，被积函数上有奇点的话，也不能直接运用高斯公式需要补上一个小空间r=ε，足以包括所有内部的奇点的，然后取半径ε趋向0 运用高斯公式时也要减去这个部分相应的积分所以有∫∫_(Σ) = ± ∫∫∫_(Ω) - ∫∫_(ε) 5：替代若被积函数f的方程是在Σ上，则可以优先把Σ的方程代入f中例如给Σ方程：x2+y2+z2=a2 则∫∫_(Σ) (Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)/√(x2+y2+z2) = ∫∫_(Σ) (Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)/a = (1/a)∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 于是这样，就可以避免了4：的情况，不用挖洞去掉奇点后就可以继续补面使用高斯公式了