Question

线性代数问题

求两题的证明过程 第二题为什么C不行？ 求教

Answer 1

第1题

因为AB=0，考虑方程组Ax=0，基础解系中向量个数是n-r(A)，因此r(B)≤n-r(A)，即r(A)+r(B)≤n
另一方面，A,B都非零矩阵，则r(A),r(B)都大于0
从而r(A)，r(B)<r(A)+r(B)≤n
则r(A)，r(B)<n
选C
第2题
C选项可以举反例：

α=(1,0,0)
β=(0,1,0)
γ=(0,0,1)
δ=(0,1,0)

Answer 2

第一题选C
假如A的秩等于n，那么B必为零矩阵，因为B的列向量为Ax=0的解，而A满秩的话，只有零解。
所以A的秩小于n
同理证明B的秩也小于n
第二题：
α β无关，加上ξ后相关，则ξ可由α和β线性表示。
如果γ可由α，β，ξ线性表示，则γ也可由α，β线性表示，这与题目的条件矛盾。