Question

考研数学 图片中评注的那句话 请问为什么不可导点只有x=1？ 谢谢

Answer 1

容易看出f在R上连续，非负，零点集为正整数集（N+），且对任意x属於R\N+，f於x处可导.
记f去掉绝对值号所得的函数为g.记h(x)=(x-2)^2*...*(x-2017)^2017=g(x)/(x-1)（任意x属於R）.
任取n属於{2,3,...}，在区间(n,n+1/2)上，f=g或f=-g，而g在n处的右导数存在且为0，因而f在n的右导数存在且为0；同理，f在n处左导数存在且为0，所以f於n可导且导数为0.
而对n=1，在区间(n,n+1/2)上，f=g或f=-g，而g在n处的右导数存在且为h(1)，因而f在n的右导数存在且为h(1)或-h(1)；在区间(n-1/2,n)上，f=-g或f=g，而g在n处的左导数存在且为h(1)，因而f在n的右导数存在且为-h(1)或h(1)；而h(1)非零，所以f在1处左右导数不相等，故不可导.
於是f的不可导点集为{1}.