Question

一道积分的题！求高手！急！！

题干大意是用二重积分里的换序 算图中的积分…到底是设个y还怎样…表示脑内完全混乱了 作业要交啊啊啊！

Answer 1

【解一、二重积分交换累次积分次序：】
∫[a,b] e^(-xy) dy
= -1/x∫[a,b] e^(-xy) d(-xy)
= -1/x { e^(-xy)|[a,b] }
= [e^(-ax)-e^(-bx)]/x

∫[0,+∞] [e^(-ax)-e^(-bx)]/x dx
=∫[0,+∞] dx ∫[a,b] e^(-xy) dy
=∫[a,b] dy∫[0,+∞] e^(-xy) dx
=∫[a,b] dy { -1/y * e^(-xy)[0,+∞] }
=∫[a,b] 1/y dy
= lny |[a,b]
= ln(b/a)

【解二、Froullani型积分通用解法：】

∫[ε,M] [e^(-ax)-e^(-bx)]/x dx

=∫[ε,M] e^(-ax)/x dx - ∫[ε,M] e^(-bx)/x dx
令：ax = t 令：bx=t

=∫[aε,aM] e^(-t)/t dt - ∫[bε,bM] e^(-t)/t dt

=∫[aε,bε] e^(-t)/t dt - ∫[aM,bM] e^(-t)/t dt
∵ e^(-t)，1/t 可积， 1/t恒正 ，∴由积分中值定理：

=e^(-ξ)∫[aε,bε] 1/t dt - e^(-η)∫[aM,bM] 1/t dt
其中：ξ∈（aε,bε），η∈（aM,bM） , 0<a<b

=e^(-ξ) ln[b/a] - e^(-η) ln[b/a]

={e^(-ξ) - e^(-η)}ln[b/a]

∴
∫[0,+∞] [e^(-ax)-e^(-bx)]/x dx

=lim[ε->0,M->+∞] ∫[ε,M] [e^(-ax)-e^(-bx)]/x dx

=lim[ε->0,M->+∞] {e^(-ξ) - e^(-η)}ln[b/a]
其中：ξ∈（aε,bε），η∈（aM,bM） , 0<a<b
= ln(b/a)