Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c题在下面

(1)若a>b>c,且f(1)=0，试证明f(x)有两个零点；

（2）设x1,x2属于R，x1<x2,且f(x1)≠f(x2),若方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]有两个不等的实根，试证明必有一个实根属于区间（x1,x2).

Answer 1

（1）证明：
f(x)=ax^2+bx+c
则f(1)=a+b+c=0
则b=-(a+c)
则f(x)=0时的根的判别式=b^2-4ac=[-(a+c)]^2-4ac=(a-c)^2>0（a>c）
所以f(x)=0必有两个不同实根，即有两个零点。
（2）证明：
要证明必有一个实根属于区间（x1,x2)，由函数的连续性只需证明f(x1)*f(x2)<0即可。
方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]有两个不等的实根，
得ax^2+bx+c=1/2[f(x1)+f(x2)]
令f(x1)*f(x2)=m
则可构造f(x1)与f(x2)（f(x1)≠f(x2)）是方程t^2-4(ax^2+bx+c)+m=0的相异两根，
则由根的判别式=[4(ax^2+bx+c)]^2-4m>0恒成立，而[4(ax^2+bx+c)]^2>=0，则必须有-4m>0成立方能满足上述不等式的恒成立，所以m<0，即f(x1)*f(x2)<0,所以有函数的连续性，必有一个实根属于区间（x1,x2).

Answer 2

1） a+b+c=0 a>b>c 故a>0 c<0 b不确定 但dert>0
2)凹函数性质 画图

f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)]=0 有两个不等的实根故dert>0 设x3<x4
代人证x4属于（x1,x2)