Question

已知a为实常数,函数f(x)=[(lnx+1)/x]–a

(1)求函数f(x)的最值
(2)设g(x)=xf(x)
(i)讨论函数g(x)的单调性
(ii)若函数g(x)有两个不同的零点x1,x2(x1＜x2)，求实数a的取值范围

Answer 1

1. f(x)=[(lnx+1)/x]–a 定义域x>0

   f'(x)=[1/x·x-(lnx+1)]/x²=-lnx/x²

   驻点x=1 左+右- 为极大值点 最大值=极大值=f(1)=1-a

   lim(x→0+)f(x)=-∞ 最小值不存在

2. g'(x)=f(x)+xf'(x)=[(lnx+1)/x]–a-lnx/x=1/x-a

   当a≤0时，g'(x)>0 g(x)为增函数 单调递增区间x∈(0,+∞)

   当a>0时，驻点x=1/a 左+右- 为极大值点

   单调递增区间x∈(0,1/a),单调递减区间x∈(1/a,+∞)

3. 由2，a≤0时，g(x)为增函数，只有一个零点;

   a>0时

   lim(x→0+)g(x)=-∞,lim(x→+∞)g(x)=-∞

   当极大值g(1/a)>0时，由函数零点定理，g(x)有两个不同的零点x₁,x₂：

   g(1/a)=ln(1/a)+1-1=ln(1/a)=-lna>0→a<1

   ∴a∈(0,1)