Question

高中数学，函数关系，导数

Answer 1

第一类换元法，关键是凑微分，这要求导数非常熟练。
例如 I = ∫dx/(1+e^x) , 看不出怎么凑微分，
分子分母分别成以 e^x
I = ∫e^xdx/[e^x(1+e^x)], 注意 e^xdx = de^x, 这样可将积分变量换为 u = e^x,
I = ∫de^x/[e^x(1+e^x)] = ∫du/[u(1+u)] = ∫[1/u-1/(1+u)]du
= ∫du/u - ∫d(1+u)/(1+u) = ln|u| - ln|1+u| + C
= ln|u/(1+u)| + C = ln|e^x/(1+e^x)| + C

Answer 2

(1) f(x)=-x²e^(2x)
g(x)=f(x)+lnx=-x²e^(2x)+lnx
g'(x)=-2xe^(2x)-2x²e^(2x)+1/x

g'(1)=1-4e²
g(1)=-e²
过(1,-e²)，且斜率为g'(1)=1-4e²的直线方程为：y=(1-4e²)x+3e²-1
(2)f(x)+2xe^(2x)+1=ax²e^(2x)+2xe^(2x)+1≥e^(2x)
计算得：a≥(-e^(-2x)-2x+1)/x²
计算表达式右侧的极大值，即可求出a的范围。