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函数f(x)对于任意x,y∈R满足f(x)+f(y)=f(x+y)+2当x>0时,f(x)>2(1)求证:f(x)在R上是增函数(2)当f(3)=5时,解不等式f(a^2...
函数f(x)对于任意x,y∈R满足f(x)+f(y)=f(x+y)+2 当x>0时,f(x)>2
(1)求证:f(x)在R上是增函数
(2)当f(3)=5时,解不等式f(a^2-2a-2)<3
f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(x)=1若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有[f(m)+f(n)]/(m+n)>0(前题已证明f(x)在[-1,1]上是增函数)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求t的取值范围 展开
(1)求证:f(x)在R上是增函数
(2)当f(3)=5时,解不等式f(a^2-2a-2)<3
f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(x)=1若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有[f(m)+f(n)]/(m+n)>0(前题已证明f(x)在[-1,1]上是增函数)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求t的取值范围 展开
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(1).证明:令m=x+y,n=x
则f(x)+f(y)=f(x+y)+2 <=> f(n)+f(m-n)=f(m)+2
即f(m)-f(n)=f(m-n)-2
设X1>X2
则f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)-2
∵X1-X2>0,当x>0时,f(x)>2
∴f(X1-X2)>2
即f(X1)>f(X2)
∴f(x)在R上是增函数。
(2).解:
∴f(2)+f(2)=f(4)-2=f(1+3)-2=f(1)+f(3)+2-2=f(1)+5
∴f(1)+5=2f(2)=2f(1+1)=2[f(1)+f(1)-2]=4f(1)-4
∴f(1)=3
∵f(x)在R上为增函数,且f(a²-2a-2)<3=f(1)
∴a²-2a-2<1,即a²-2a-3<0,即(a-3)(a+1)<0
∴-1<a<3
解:
∵f(x)为增函数
∴f(x)的最大值为f(1)=1
∴只要t^2-2at+1≥1,则f(x)≤t^2-2at+1
①当t>0时:
at∈[-t,t]
-2at∈[-2t,2t]
t²-2at+1∈[t²-2t+1,t²+2t+1]
∴t²-2t+1≥1,即t(t-2)≥0,即t≤0或者t≥2
又∵t>0
∴t≥2
②当t=0时:
t^2-2at+1=1≥f(x)
③当t<0时:
at∈[t,-t]
-2at∈[2t,-2t]
t²-2at+1∈[t²+2t+1,t²-2t+1]
∴t²+2t+1≥1,即t(t+2)≥0,即t≤-2或者t≥0
又∵t<0
∴t≤-2
综上①②③所述:
t∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
则f(x)+f(y)=f(x+y)+2 <=> f(n)+f(m-n)=f(m)+2
即f(m)-f(n)=f(m-n)-2
设X1>X2
则f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)-2
∵X1-X2>0,当x>0时,f(x)>2
∴f(X1-X2)>2
即f(X1)>f(X2)
∴f(x)在R上是增函数。
(2).解:
∴f(2)+f(2)=f(4)-2=f(1+3)-2=f(1)+f(3)+2-2=f(1)+5
∴f(1)+5=2f(2)=2f(1+1)=2[f(1)+f(1)-2]=4f(1)-4
∴f(1)=3
∵f(x)在R上为增函数,且f(a²-2a-2)<3=f(1)
∴a²-2a-2<1,即a²-2a-3<0,即(a-3)(a+1)<0
∴-1<a<3
解:
∵f(x)为增函数
∴f(x)的最大值为f(1)=1
∴只要t^2-2at+1≥1,则f(x)≤t^2-2at+1
①当t>0时:
at∈[-t,t]
-2at∈[-2t,2t]
t²-2at+1∈[t²-2t+1,t²+2t+1]
∴t²-2t+1≥1,即t(t-2)≥0,即t≤0或者t≥2
又∵t>0
∴t≥2
②当t=0时:
t^2-2at+1=1≥f(x)
③当t<0时:
at∈[t,-t]
-2at∈[2t,-2t]
t²-2at+1∈[t²+2t+1,t²-2t+1]
∴t²+2t+1≥1,即t(t+2)≥0,即t≤-2或者t≥0
又∵t<0
∴t≤-2
综上①②③所述:
t∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
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