Question

求教……已知f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增

已知f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，并且f(x)＜0对于一切x∈R成立。 这是一道数学题的第一句话，我看了第一眼就立马抑郁了，因为觉得前后条件很矛盾……既然是偶函数且在正数时单调递增，怎么可能会函数值持续小于0呢？难道是我脑残了么……= =求解释……多谢……以下是完整的题目：

已知f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，并且f(x)＜0对于一切x∈R成立。试判断-1/f（x）在（-∞，0）上的单调性，并证明。

Answer 1

（1）对前面的解释：因为这个函数的渐近线是X轴，即f（X）的值逼近X轴但永远不会与X轴相交

（2）证明：当X>0时，因为f（x）在（0，+∞）上单调递增

所以f（x）<f（x+1）(1式)

又因为已知f（x）是R上的偶函数

即已知f（x）=f（-x），

所以当X<0时，-X>0, -（X+1）<-X, 由一式有 f（-x）<f【-（x+1）】

所以 f（x）在（-∞，0）上的单调递减

所以1/f（x）在（-∞，0）上的单调递增

所以 -1/f（x ）在（-∞，0）上的单调递减