Question

如图,在平面直角坐标系中,O为原点,点A、C的坐标分别为(2,0)、(1, 3√3).将三角形O

如图,在平面直角坐标系中,O为原点,点A、C的坐标分别为(2,0)、(1, 3√3).将三角形OAC绕AC的中点旋转1800，点O落到点B的位置．抛物线y=ax2-2√3x经过点A，点D是该抛物线的顶点。(1) 求a的值，点B的坐标；(2) 若点P是线段OA上一点，且 ，求点P的坐标；(3) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上．写出点P的坐标(直接写出答案即可)．

Answer 1

（1）因为旋转，所以三角形AOC和ABC全等

所以角OAC=角CBA
角OCA=角CAB

将A点坐标代入抛物线就可以了，最后求出a=根号3

抛物线解析式为y=根号3x^2-2倍根号3x

连接OB交AC于M

平行四边形对角线互相平分，所以M是AC中点，也是BO中点

已知A，C坐标，用中点坐标公式求出M（3/2，3倍根号3/2）

然后已知中点M和原点O，反推出B坐标（3，3倍根号3）

代入抛物线检验就可以了，最后B点在抛物线上

（2）

如果角APD=角OAB，那么PD//AB

所以Kpd=Kab

不难求出Kab= (3倍根号3-0)/（3-2）=3倍根号3

所以Kpd=3倍根号3

设直线PD为y=3倍根号3x+m

又因为PD过D点，D点为抛物线顶点（1，-根号3）

代入D点求出直线PD：y=3倍根号3x-4倍根号3

所以与OA（也就是X轴）交点是P（4倍根号3/3，0）

（3） 设另一定点坐标为Q

因为是平行四边形，所以DQ平行于AP（X轴），可以得知DQ与X轴平行。

平行四边形还得需要AP=QD

QD就是D点横坐标的绝对值=1，所以|AP|=1

|AP|=1，即P=（1，0）或（3，0）

Answer 2

将A（2,0）代入y=ax2-2√3x，可求得a=√3
旋转180°，AC中点也为BO中点，可求得B（3,3√3）
D（1，√3），y（0，√3），因为YD=PA，P（1,0）

Answer 3

1）证明：∵△AOC绕AC的中点旋转180°，
点O落到点B的位置，
∴△ACO≌△CAB．
∴AO=CB，CO=AB，
∴四边形ABCO是平行四边形．

（2）解：∵抛物线y=ax2-2
3
x经过点A，
点A的坐标为（2，0），
∴4a-4
3
=0，
解得：a=
3
．
∴y=
3
x2-2
3
x．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥CB．
∵点C的坐标为（1，3
3
），
∴点B的坐标为（3，3
3
）．
把x=3代入此函数解析式，得：y=
3
×32-2
3
×3=3
3
．
∴点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上．
∴顶点D的坐标为（1，-
3
）．

（3）连接BO，
过点B作BE⊥x轴于点E，
过点D作DF⊥x轴于点F．
tan∠BOE=
3
，tan∠DAF=
3
，
∴tan∠BOE=tan∠DAF．
∴∠BOE=∠DAF．
∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB．
设点P的坐标为（x，0），
∴
AP
OA
=
AD
OB
，
∴
2-x
2
=
2
6
，
解得：x=
4
3
．
∴点P的坐标为（
4
3
，0）．

（4）P1（1，0），P2（-1，0），P3（3，0）．

Answer 4

（1）a=根号3，B（3,3√3）。（2）D（1，√3）p（3分之4，0）（3）p1（1，0）p
2(-1.0)P3(3,0)