联立方程的求解方法

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2020-01-15 · 技术研发知识服务融合发展。
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石根华介绍了一种新的联立方程的求解方法,即非零存储法,这种方法以图论为基础,是一种很高效率的直接解法,具有存储要求低、计算量少、避免出错的优点。

假定联立方程式系统是:

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

式中:A是一n×n系数矩阵;X是一n×1未知系数矩阵;F是一n×1自由项矩阵。

这些矩阵的元素仍是子矩阵:

矩阵A的元素Aij是q×q子矩阵;

矩阵X的元素Xi是q×1子矩阵;

矩阵F的元素Fi是q×1子矩阵。

这里,n是块体数且每个块体有6个未知数,因此q=6,子矩阵Aij,Xi及Fi分别是6×6、6×1及6×1子矩阵。

三角形分解是高斯消元法的矩阵形式。假定系数矩阵的对称性为:

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

为推导解这些联立方程式的计算方法,我们先给定一个下三角形矩阵L,其每个元素Lij是一q×q子矩阵,在i<j处为零矩阵。

三角形分解方法假定A是三个矩阵相乘:

A=LD-1LT (3.81)

式中:

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

矩阵A分解为三个矩阵的乘积LD-1LT,简化了我们的计算,因为这些分量矩阵每一个都是对称矩阵或三角形矩阵。

令I是一个6×6矩阵:

I6×6=1 0 0 … 0 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0︙ ︙ ︙ ︙ ︙0 0 0 … 1

则有:

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

方程式(3.81)重写为:

A=L(D-1LT) (3.84)

或:

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

在矩阵相乘公式(3.85)中,每个元素有它自己的子矩阵。元素子矩阵:

Lij,j≤i≤n

形成一个下三角矩阵L。为计算所有子矩阵Lij,矩阵相乘公式(3.85)在计算方法中重写如下:对i≥j或下三角部分,

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

用公式(3.86)子矩阵Lij可随后算得:

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

设所有:

Lrs,r(n-1)+s < i(n-1)+j (3.88)

则:

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

可算出,因为:

Lik,Lkk,Ljk (3.90)

在方程式(3.89)的右边已经算得。

方程式:

AX=F

可转换为两个方程:

LY=F (3.91)

D-1LX=Y (3.92)

亦即:

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

则:

Y1,Y2,…,Yn-1,Yn

随后可算得。公式(3.93)叫做正向替换。

公式(3.92)是为计算未知数矩阵X的,

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

则:

Xn,Xn-1,…,Y2,Y1

随后可算得。公式(3.94)叫做反向替换。

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