证明复合函数求导法则过程中的疑问 30

听网课没有听明白,请看图,另外还有个问题,在判断△x和△u为同阶无穷小前,怎么知道它们是无穷小的?... 听网课没有听明白,请看图,另外还有个问题,在判断△x和△u为同阶无穷小前,怎么知道它们是无穷小的? 展开
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2020-03-06 · TA获得超过4784个赞
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复合函数的求导法则证明:
例如:要求f(g(x))对x的导数,且f(g(x))和g(x)均可导。
首先,根据定义:当h->0时,g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h,所以,当h->0时,lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有:g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理:f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以,f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h (其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h)
所以,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时,u和v都->0,这个容易看。
所以当h->0时,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
证毕
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数,只有当Mx∩Du≠Ø时,二者才可以构成一个复合函数。
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