Question

数学分析，求详解

Answer 1

必要性：假设有一数列yn→x0，使得f(yn)→f(x0)，但是x→x0时f(yn)不收敛f(x0)。由于yn→x0，设有一阶梯函数δn(x)使得丨δn(x)-yn丨＜εn（x），那么将δn(x)用f映射成fn（δ），在每个fi（δ）与f（yi）之间有振幅Ai使得丨fi（δ）-f（yi）丨＜Ai（max），设εn（x）≤1，那么丨fi（δ）-f（yi）丨≤Ai（max）丨δn(x)-yn丨，然后其中有个yk就是x0，对丨fi（δ）-f（yi）丨≤Ai(max)丨δn(x)-yn丨求和，一直从第j个点到x0的地方用不等式求和就变成了(k-j)Ai(max)丨δk(x)-yk丨≥Ai(max)(丨δj(x)-yn丨+...+丨δk(x)-yk丨)≥丨fj（δ）-f（yk）丨，也就是变成丨k-j丨Ai(max)丨δk(x)-yk丨≥丨fj（δ）-f（yk）丨，这个时候，如果令εn（x）≤1/丨k-j丨（max），就能使丨k-j丨Ai(max)丨δk(x)-yk丨≥丨fj（δ）-f（yk）丨的左边是无穷小量，右边自然也是无穷小量，然后你再回代yk变成x0，就能证明f(yn)→f(x0)，这个矛盾说明任何xn→x0都能使f(xn)→f(x0)。充分性：由于f(x)在某个邻域是有界的，所以存在子列f(xn)→f(x0)，这时f(xn)与f(x0)有振幅Bn使得丨f(xn)-f(x0)丨≤Bn，这时xn要是→x0，则从某项N1开始丨xn-x0丨＜γ(n)，由于而且γ(n)有正的上界γ(max)，可以说明所以收敛到x0的数列zn都可以在N2,3...s之后使得丨zn-x0丨＜α(n)，这时如果取max(γ(n)，α(n))作为所有收敛子列的标准，就能使f收敛□