Question

高等数学，大学数学，考研数学，线性代数

为什么这两个向量组的秩是相等的？请详细解答，谢谢！

Answer 1

根据秩的性质，矩阵相乘，如果一个矩阵为满秩，则二者乘积的秩等于非满秩的矩阵的秩。
本题中，因为α1，α2，α3线性无关，所以 r(α1，α2，α3)=3，满秩
所以才有解析中你标记的那部分成立。
一般来说，两个矩阵相乘的秩小于等于这两个矩阵秩的最小值，在其中一个矩阵为满秩时等号成立。

Answer 2

因 a 为单位向量，则 a^Ta = 1. 由 A = aa^T, 则 A^2 = aa^Taa^T = a(a^Ta)a^T = aa^T = A，由 Ax = λx，左乘以A， A^2x = λAx = λ^2x A^2x - Ax = λ^2x - λx, (A^2-A)x = (λ^2-λ)x A^2 - A = O, λ^2-λ = 0, λ = 0, 1. 矩阵函数 f(A) 的特征值是 f(λ) 记单位向量 a = (a1, a2, ... , an)^T , 则 aa^T = [(a1)^2 a1a2 ... a1an] [a2a1 (a2)^2 ... a2an] [.................................] [ana1 ana2 ... (an)^2] 不是你写的那样。