Question

已知,如图:在四边形ABCD中,角BAD=角BCD=90度,AC平分角BAD,点E是BD中点,AF垂直BD,垂足为点F

已知,如图:在四边形ABCD中,角BAD=角BCD=90度,AC平分角BAD,点E是BD中点,AF垂直BD,垂足为点F证明：CB=CD不用四点共圆

Answer 1

证明：见下图。连结AE并延长交BC于G；因为CE是BD边的中线，且∠BAD=∠BCD=90D，所以，CE=BE=ED=AE;得以E为顶角等腰三角形-△EAB、△EBC和△EAC。设∠FAC=a;

AC是∠BAD的平分线，所以∠BAC=∠DAC=45D;

因为AF⊥BD，所以∠AFD=∠AFB=∠BAD=90D;△ABF是Rt△；

∠BAF=∠45D+a;    则∠BAE=∠ABF(等腰三角形底角)=90D-∠DAF=90D-(45D+a)

=45D-a=45D-∠CAE;所以∠CAE=∠ACE（等腰三角形的底角相等）=a;

因为∠CEG=∠CAE+∠ACE(外角定理)=2a=∠EFF;

所以AF//CE（同位角相等，而直线平行）。因而CE⊥BD。所以△BCD是等腰Rt△。CB=CD。原命题得证。证毕。

Answer 2

如图所示，过点D作DE⊥AC，点E在AB上，DE交AC于点F，

过点C作CG⊥AB，垂足为点G，连接CE。

因为∠BAD=90°，AC平分∠BAD，所以∠BAC=∠DAC=45°，

又因为DE⊥AC，所以△ADF与△AEF为互相全等的等腰直角三角形，

可知AC垂直平分DE，所以CD=CE，△CDE为等腰三角形，AC平分∠DCE，

因为在△ACG中∠AGC=90°，∠BAC=45°，所以∠ACG=45°，

即∠ACG=∠ACE+∠GCE=∠DCE/2+∠GCE，

而∠ACG=45°=90°/2=∠BCD/2=(∠DCE+∠BCE)/2=∠DCE/2+∠BCE/2，

所以∠GCE=∠BCE/2，即CG平分∠BCE，

又因为CG⊥AB，所以△BCE为CB=CE的等腰三角形，综上所述即可知CB=CE=CD。

Answer 3

构造全等三角形。

追答

自评：解答的前四行可以删去。分析四边形ABCD四个内角的特殊性，借以找出解题途径。回答的正文从第五行开始即可。

Answer 4

利用已知来证明那两个三角形平等就可以了

追问

能否详细一些？

追答

可以吗？可以的话采纳一下