复变函数请问(1+i)^(1-i)等于多少？就是(1+i)的(1-i)次方等于多少？
z = e^(iθ) = cosθ + isinθ = x + iy
zⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + isin(nθ) = (x + iy)ⁿ
arg(z) = arctan(y/x)
|z| = √(x² + y²)
∵arg(z) = - π/4
|z| = √(1² + (- 1)²) = √2
∴1 - i
= √2e^(- iπ/4)
= √2[cos(- π/4) + isin(- π/4)]
= √2[cos(π/4) - isin(π/4)]
∵arg(z) = - π/4
|z|^i = (1² + 1²)^(i/2) = 2^(i/2)
∴(1 - i)^i
= 2^(i/2) • e^(i • i • - π/4)
= 2^(i/2) • e^(π/4)
= 2^(i/2)[cos(π/4) + isin(π/4)]
扩展资料：
(a+i*b)^(a+i*b)和(r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))结果的一般形式
解决这个问题主要是运用公式w^z=exp(z*Lnw)=exp{z*[i*(arg(w)+2kπ)+ln|w|]}
其中w、z是复数，注意Lnw是多值函数
答案为e^(∏/4)^(-1)（cos（ln2/2）+isin（ln2/2）)(∏为圆周率)
解题过程如下：
(1+i)*i
形如a*b=e*blna
所以原式
(1+i)^i
=[e^(ln(1+i))]^i
=e^（i*ln(1+i))
=e^[i*ln(2^(1/2)(cos∏/4+i*sin∏/4))]
=e^[i*（ln2/2+i*∏/4)]
因为e^(i∏/4)=cos∏/4+isin∏/4 所以：ln(cos∏/4+isin∏/4)=i∏/4
=e^(-∏/4+iln2/2)
=e^(∏/4)^(-1)（cos（ln2/2）+isin（ln2/2）)
(∏为圆周率)
以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
扩展资料
复变函数证明:
设ƒ(z)是A上的复变函数，α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时，|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立，则称ƒ(z)在α处是连续的，如果在A上处处连续，则称为A上的连续函数或连续映射。
设ƒ是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ，当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。这个性质称为ƒ(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。
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