Question

功率谱估计的参数模型方法

Answer 1

众所周知，对一个研究对象建立数学模型是现代工程中常见的方法，它一方面使研究的对象有一个简洁的数学表达式，另一方面，通过对模型的研究，可得到更多的参数，也可使我们对所研究的对象有更深入的了解。

通常，人们会或多或少地掌握关于被估计随机过程的某些先验知识，从而有可能对它作出某些合理的假定。例如，为它建立一个准确或至少近似的模型，而不必像经典功率谱估计方法那样主观武断地认为凡未观测到的数据都等于零。这就从根本上摒弃了对数据序列加窗的隐含假设。以参数模型为基础的功率谱估计思路如下。

（1）通过对随机过程的理论分析和实验研究，为该随机过程选择一个合理的模型，即假定所研究的过程x（n）是由一输入序列ε（n）激励一线性系统H（z）的输出；

（2）由已知的x（n）或其自相关函数r_xx（m），选择有效算法来估计该模型的参数H（z）；

（3）用估计得到的模型参数H（z）计算x（n）的功率谱P_xx（e^jω）。

图4-1 序列x（n）的有理传输函数模型

实际应用中所遇到的随机过程大多数都可以用有理传输函数（系统函数）模型很好地逼近，如图4-1所示。设输入激励ε（n）是均值为零、方差为

的白噪声序列，线性系统传输函数为

地球物理信息处理基础

式中：b_k是MA系数；a_k是AR系数（详见第一章）。若h（n）是实的，则三种类型的差分方程、系统函数以及功率谱分别为

（1）全零点模型

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或

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（2）全极点模型

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或

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（3）极点——零点模型

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或

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由第一章知，如果功率谱完全是连续的，那么可以用一个无限阶的MA过程来表示任何ARMA过程或AR过程；可以用一个无限阶的AR过程来表示任何ARMA或MA过程。因此，如果选择了一个不合适的模型，但只要模型的阶数足够高，从理论上讲，它仍然能够比较好地逼近被建模的随机过程。估计ARMA或MA模型参数一般需要解一组非线性方程，而估计AR模型参数通常只需解一组线性方程。限于篇幅，本章主要介绍AR模型分析，由于其模型的参数提取为线性问题，易于解决。