如图，在三角形ABC中，<BAC=90度,AB=AC,D是BC上的点,求证:BD平方+CD平方=2AD平方
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若D是BC中点，易证明AD=BD=CD BD²+CD²=2AD²
若D不是BC中点，过A作AH⊥BC交BC于点H
在Rt三角形ADH中，AH²+DH²=AD²
设AH=x，则BH=CH=x，BD=x-DH，CD=x+DH
BD²+CD²=（x-DH）²+（x+DH）²=2x²+2DH²
而x²+DH²=AD² 即2x²+2DH²=2AD² 2DH²=2AD²-2x²
∴BD²+CD²=2x²+2AD²-2x²=2AD² 得证
若D不是BC中点，过A作AH⊥BC交BC于点H
在Rt三角形ADH中，AH²+DH²=AD²
设AH=x，则BH=CH=x，BD=x-DH，CD=x+DH
BD²+CD²=（x-DH）²+（x+DH）²=2x²+2DH²
而x²+DH²=AD² 即2x²+2DH²=2AD² 2DH²=2AD²-2x²
∴BD²+CD²=2x²+2AD²-2x²=2AD² 得证
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