Question

若x十y=1，x，y均为实数，求x^3十2xy^2十3y^3/ⅹ^2十y^2值的范围？

Answer 1

设u=xy,则u<=(x+y)^2/4=1/4,
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=1-2u,
x^3十2xy^2十3y^3
=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2y^2(x+y)
=x^2-xy+3y^2
=(x+y)^2-3xy+2y^2
=1-3u+2y^2,
设w=原式=(1-3u+2y^2)/(1-2u)=3/2+(2y^2-1/2)/(1-2u),
当2y^2-1/2<0是w是u的减函数，当2y^2-1/2>0是w是u的增函数。
u=1/4时w=2(1/4+2y^2),取值范围是[1/2,+∞).
综上，原式的取值范围是[1/2,+∞).
仅供参考。

追问

高手好，请教一下我把y=1一X代入原分式化简后令原式等于Z，则Z=1一3y+5y^2/2y^2一2y十1得到一个y^2(2Z一5)十(3一2z)y+z-1=0的式子而已知ⅹ、y为实数、所以△≥。得4一√5/2≤z≤4十√5/2。这样做没错吧。

追答

z=[(1-y)^3+2y^2(1-y)+3y^3]/[(1-y)^2+y^2]
=(1-3y+3y^2-y^3+2y^2-2y^3+3y^3)/(2y^2-2y+1)
=(5y^2-3y+1)/(2y^2-2y+1),
z(2y^2-2y+1)=5y^2-3y+1,
整理得(2z-5)y^2+(3-2z)y+z-1=0,
y,z是实数，
△=(3-2z)^2-4(2z-5)(z-1)
=9-12z+4z^2-4(2z^2-7z+5)
=-4z^2+16z-11>=0,
4z^2-16z+11<=0,
2-√5/2<=z<=2+√5/2.
您做对了。

追问

是的，4Z^2一16Z十11<0解得Z的范围，十分感谢！

≤o