Question

设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),且f(3)=3,f(-1)=-1,证明函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。

Answer 1

由f(x)总满足f(2-x)=f(2+x)，
令x=1，得f(1)=f(3)，
∵f(3)=3，
∴f(1)=3，

又f(-1)= -1，
∴f(-1) ≠f(1)，且f(-1) ≠ -f(1)，
即f(-x)=f(x)，及f(-x)= -f(x)都不可能恒成立，
∴f(x)既不是奇函数，又不是偶函数.

Answer 2

用反证法最简单，举个反例子推翻即可：
f(2-x)=f(2+x)得，f(1)=f(3)=3，而f(-1)=-1
f(1)不等于f(-1)，故不是偶函数
f(1)+f(-1)不等于0，故不是奇函数

证毕~~

Answer 3

解：因为 函数f(x)在(-∞,+∞)上满足
f(2-x) =f(2+x),
那么 f(1)=f(3)=3≠f(-1)或≠-f(-1)
所以，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数