Question

设在[0,1]上f "(x)>0,则f '(0),f '(1),f(1)-f(0)的比较

为什么f "(x)>0 f '(x)单调增加

Answer 1

因为f(x)在[0,1]上一阶可导，由Lagrange中值定理，f(1)-f(0) = f'(ξ)(1-0)=f'(ξ)。其中ξ∈[0,1]，又由于f''(x)>0 => f'(x)在[0,1]上为单调递增函数，于是有f'(1) > f(1)-f(0)=f'(ξ) > f'(0)。

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

扩展资料

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。

对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

Answer 2

根据f′(x)﹥0，则f(x)递增。所以f′′(x)>0，则f′(x)递增。
解:∵x∈[0，1]，f′′(x)>0
∴f′(x)递增
∵f(1)-f(0)=f′(ξ)(1-0)
∴f(1)-f(0)=f′(ξ) (ξ∈(1，0))
∵0<ξ<1
∴f′(0)<f′(ξ)<f′(1)
即f′(0)<f(1)-f(0)<f′(1)

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

如图。