Question

如图，请问这道 不定积分 是怎么得来的？

Answer 1

设 x = a * sinθ，则 θ = arcsin(x/a)，dx = a * cosθ * dθ。那么，原不定积分就可以变换为：
=∫√[a²(1-sin²θ)] * (a * cosθ * dθ)
=∫(a * cosθ) * (a * cosθ) * dθ
=a² * ∫cos²θ * dθ
=a² * 1/2 * ∫(2cos²θ) * dθ
=a²/2 * ∫[1+cos(2θ)] * dθ
=a²/2 * [∫dθ + ∫cos(2θ) * dθ]
=a²/2 * [ θ + 1/2 * ∫cos(2θ) * d(2θ)]
=a²/2 * [ θ + 1/2 * sin(2θ)] + C
=a²/2 * [ θ + 1/2 * 2 * sinθ * cosθ] + C
=1/2 * (a² * θ + a² * sinθ * cosθ) + C
=1/2 * [a² * arcsin(x/a) + (a*sinθ) * (a*cosθ)] + C
=1/2 * [a² * arcsin(x/a) + x * √(a²-x²) ] + C

追问

请问最后一步a*cost怎么变成根号下(a^2-x^2)的？
（打不出seita就用t代替了）