Question

关于大一高数的极限问题

帮喜欢的女孩子向大家讨教一个问题。我知道一个结论，无穷多个无穷小之和不一定是无穷小，我也知道当n→无穷大时，有（1+2+3+…+n）/n2（注：n的平方）的极限为1/2。但是，她问我，根据极限四则运算法则，把式子拆开，可得当n→无穷大时，lim[（1+2+3+…+n）/n2]=lim(1/n2)+lim(2/n2)+lim(3/n2)+…+lim(n/n2)=0，这显然是错误的，但那个展开的式子的错误究竟在哪？我该如何反驳？？跪求帮助

Answer 1

楼上各位的说法, 基本正确。

楼主只需跟她讲两点：
1、lim(1/n²)+lim(2/n²)+lim(3/n²)+…+lim(n/n²)中的任何一项确实是0。
但是，这里的0是无限小，而不是真正的0。
2、无穷多个无穷小的叠加，结果可能是0，可能是常数，可能是无穷大。

你可以给她举例说明：
例一：n→∞时，1/n→0。 n个1/n呢？ 结果是1。n²个1/n呢？ 结果是∞。

例二：n→∞时，1/n²→0。n个1/n²呢？ 结果是0；n²个1/n²呢？ 结果是1；
2n²个1/n²呢？ 结果是2；3n²个n²呢？结果是3，，，，，
n³个1/n²呢？ 结果是∞。

这样她就会明白了。

Answer 2

极限四则运算法则，仅对有限个函数的和、差等成立

Answer 3

和的极限等于极限的和这个规则，只能对有限个和使用，不能对无限个使用。

所以“她说的根据极限四则运算法则”一说是错误的应用。

Answer 4

拆开，就要求两个极限存在，
n→无穷大时，lim(1/n2)存在，但lim[（2+3+…+n）/n2]极限存在吗？
不，就不能继续拆开下去