Question

高数，不定积分

有解题步骤，有解题思路。必采纳。

Answer 1

不定积分是高数计算问题中的难点，也是重点，因为还关系到定积分的计算。要想提高积分能力，我认为要注意以下几点：（1）要熟练掌握导数公式。因为求导与求积是逆运算，导数特别是基本初等函数的导数公式掌握好了，就为积分打下了良好的基础。（2）两类换元法及分部积分法中，第一类换元法是根本，要花时间和精力努力学好。（3）积分的关键不在懂不懂，而在能不能记住。一种类型的题目做过，下次碰到还会不会这很重要。（4）如果是初学者，那要静心完成课本上的习题。如果是考研级别，那更要做大量的训练题并且要善于总结。以上几点建议，希望能有一定的作用

Answer 2

只能做到这了，仅供参考。

追问

好的，有解题思路就行

Answer 3

解：x-√x=x-√x+(1/2)^2-1/4=(√x-1/2)^2-1/4;
令t=√x-1/2; x=(t+1/2)^2;dx=2(t+1/2)dt;
原式=∫[1-1/(t+1/2)^4]√(t^2-1/4)*2(t+1/2)dt
=∫[2√[(t+1/2)/(t-1/2)]-2√(t-1/2)/√(t+1/2)^5]*dt
=2∫{√[(t-1/2)+1]/√(t-1/2)-√[(t+1/2)-1]/√(t+1/2)^5]*dt;
=4∫√[(t-1/2)+1]d√[(t-1/2)+1]-2∫{√[(t-1/2)+1-1]/√[(t-1/2)+1]^5}dt
=4*(2/3)√[(t-1/2)+1]^3-2∫1/(t+1/2)^2+1/√(t+1/2)^5}dt
=(8/3)√(t+1/2)^3+2/(t+1/2)+4∫1/√(t+1/2)^4d√[(t+1/2)
=(8/3)√(t+1/2)^3+2/(t+1/2)-4*(-2/3)[1/√(t+1/2)^3+C
=(8/3)√(√x)^3+2/√x+[8/3√(√x)^3]+C
=(8/3)[x^(3/4)+x^(-3/4)]+2/√x+C

Answer 4

令x=(sec²α)² α∈[0，π/2)
原式=∫(1-(cos²α)^4)secαtanαd(sec²α)²
=∫(1-(cos²α)^4)secαtanα4sec³αsecαtanαdα
=4∫(1-(cos²α)^4)secαtanαsec³αsecαtanαdα
=4∫[(secα)^5 tan²α-sin²αcosα]dα
=4∫(secα)^5 tan²αdα-4∫sin²αdsinα
=4/5∫tanαd(secα)^5-4∫sin²αdsinα
=4/5[tanα(secα)^5-∫(secα)^7dα]-4/3 sin³α+C ①

∫(secα)^7dα
=∫(secα)^5dtanα
=tanα(secα)^5-∫tanαd(secα)^5
=tanα(secα)^5-5∫[(secα)^5 (sec²α -1)]dα
∫(secα)^7dα=1/6[tanα(secα)^5+5∫(secα)^5 dα]
同理可得
∫(secα)^5dα=1/4[tanαsec³α+3∫sec³αdα]
∫sec³αdα=1/2[tanαsecα+∫secαdα]
=1/2[tanαsecα+㏑|secα+tanα|] + C
代入①式得原式
=2/3 tanα(secα)^5-1/6sec³αtanα-1/4secαtanα-1/4㏑|secα+tanα|-4/3 sin³α+ C
secα=x¼
cosα=1/x¼
sinα=(1-1/x½)½
tanα=x¼(1-1/x½)½
原式=(1-1/x½)½(2/3(x½)³-1/6x-1/4x½)-1/4㏑|x¼+x¼(1-1/x½)½| -4/3[(1-1/x½)½]³+ C
=(x-x½)½ (2x/3-1/6x½-1/4)-1/4㏑|x¼+(x-x½)½ /x¼| -4/3[(1-1/x½)½]³ + C

Answer 5

关于定积分的计算。要想提高积分能力，我认为（1）要熟练掌握导数公式。因为求导与求积是逆运算，导数特别是基本初等函数的导数公式掌握好了，就为积分打下了良好的基础。（2）两类换元法及分部积分法中，第一类换元法是根本，要花时间和精力努力学好。（3）积分的关键不在懂不懂，而在能不能记住。一种类型的题目做过，下次碰到还会不会这很重要。（4）如果是初学者，那要静心完成课本上的习题。如果是考研级别，那更要做大量的训练题并且要善于总结。