Question

计算二重积分∫∫x^2ydxdy,其中D是直线y=x,x=1,及x轴所围成的区域

如题

Answer 1

y=x² 与y²=x交点为（0,0） (1,1)∫∫xydxdy=∫[0,1]xdx∫[x²，√x]ydy =(1/2)∫[0,1](x^2-x^5)dx =(1/2)*[(x^3)/3-(x^6)/6]|[0,1] =1/12。

简单来说，如果积分区域关于X轴对称，那么此时就需要看被积函数关于Y是奇函数还是偶函数，运用偶倍奇零的法则。反之亦然。需要说明的一点就是积分的对称性运用需要看两点：一个是被积函数 ，另一个是积分区域。缺一不可。

二重积分计算技巧：

例如想要计算头图的面包片的面积，但这玩意下边界，左边界和右边界是还能看成是直的，但上边界是弯曲的啊，如果把它当成一个长方形，直接底乘高算面积就算得不精确。

虽然当成一个长方形不准确，但如果把它切成细细的面包条，分别再把面包条当成长方形。于是把面包片按宽度平均切，切成很多宽度很小的面包条。由于面包条很小，可以近似看成长方形。每次计算一个小面条的面积，再加起来，就近似得到了整个面包片的面积。

Answer 2

解题过程如下图：

扩展资料

当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσ=dxdy，从而二重积分可以表示为

由此可以看出二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将上述二重积分化成两次定积分的计算，称之为：化二重积分为二次积分或累次积分。

Answer 3

如下图所示

Answer 4

因为 D为y=2x,y=x,x=2,x=4所围成的区域 ∫∫{D}x/ydxdy =∫{0，4}dx∫{x,2x}(x/y)dy = ∫{0，4}dx[xlny]{x,2x} = ∫{0，4}x*ln2 dx = 8*ln2