Question

二重积分的证明题

Answer 1

分享一种解法。设D={(x,y)丨x²+y²≤r²}。由积分中值定理，有∫∫Df(x,y)dxdy=(SD)*f(ξ,ζ)，其中，(ξ,ζ)∈D；SD是积分区域D的面积，SD=πr²。
而，r→0时，x²+y²→0，∴(x,y)→(0,0)。∴(ξ,ζ)→(0,0)。又，f(x,y)在(0,0)的某邻域内连续，∴f(0,0)存在。
∴原式=lim(r→0)πr²f(ξ,ζ)/r²=πf(0,0)。
供参考。

Answer 2

先看被积函数 integrand，再看积分区域 boundary/domain/interval/area：
A、先看被积函数是否是关于x的对称函数，再看是否是关于y的对称函数；
千万不要急于求成，同时看是否是关于x、y的对称函数；
B、再画出积分区域，看看积分区域是否对称与x轴，或对称于y轴：
a、如果被积函数对称于一、二象限，积分区域也对称与一、二象限，
积分为0；证明的方法就是被积函数一样，按积分区域写成两个
积分表达式，然后得出结论0；
b、如果被积函数对称于一、四象限，积分区域也对称与一、四象限，
积分为0；
其余依此类推。