Question

高数 定积分

高数 定积分

Answer 1

为书写简便，先求不定积分：
∫(cosx+sin2x)²dx=∫(cos²x+2sin2xcosx+sin²2x)dx
=∫[(1+cos2x)/2]dx+∫4sinxcos²xdx+∫[(1-cos4x)/2]dx
=(1/2)[x+(1/2)sin2x]-4∫cos²xd(cosx)+(1/2)[x-(1/4)sin4x]
=(1/2)[x+(1/2)sin2x]-(4/3)cos³x+(1/2)[x-(1/4)sin4x]
∴∫<0，π/2>∫(cosx+sin2x)²dx
={(1/2)[x+(1/2)sin2x]-(4/3)cos³x+(1/2)[x-(1/4)sin4x]}<0，π/2>
=(1/2)(π/2)+(4/3)+(1/2)(π/2)
=π/2+(4/3) ；

Answer 2

希望有所帮助

Answer 3

没有错，只是变化过程不同而已。详细过程可以是，①∫(0,π/4)dx/cosx=∫(0,π/4)secxdx=ln丨secx+tanx丨丨(x=0,π/4)=ln(√2+1)。
②∫(0,π/4)dx/cosx=∫(0,π/4)cosxdx/cos²x=∫(0,π/4)d(sinx)/[(1-sinx)(1+sinx)]=(1/2)ln[(1+cosx)/(1-sinx)]丨(x=0,π/4)=(1/2)ln[(√2+1)/(√2-1)]=ln(√2+1)。
供参考。