Question

高数 定积分

高数 定积分

Answer 1

解这种题可能需要很好的解定积分的经验。我的经验还是很少，大约有不到一个月的时间，能解出来纯属瞎猫抓到死耗子，过程如下图：

告诉你我的解题思路吧。首先，因为上下限是对称区间，我第一反应是奇函数在对称区间内的积分等于0.所以我就傻傻的想去证明被积函数是一个奇函数，可是代进-t后，明显得到的被积函数并不等于原被积函数的相反数，因此此路不通。这时我又发现了，用这种蠢办法得到的被积函数，竟然与原函数有着一种很巧合的联系，就是两个函数的和可以约掉原被积函数的分母。

所以我就用方程的思想，去把它解决了。不知道我这么一个大笨蛋的蠢方法，结您有没有什么启发呢！希望有吧！

Answer 2

第一步：和的平方展开
(cosx+sin2x)^2
=(cosx)^2+(sin2x)^2+2sin2xcosx
第二步：二倍角公式
(cosx)^2+(sin2x)^2
=(1+cos2x)/2+(1-cos4x)/2
=1+(cos2x-cos4x)/2
第三步：积化和差公式
2sin2xcosx=sin3x+sinx
第四步：求积分函数的一个原函数
F(x)=x+sin2x/4-sin4x/8-cos3x/3-cosx
第五步：代入定积分上下限
F(π/2)=π/2+0-0-0-0=π/2
F(0)=0+0-0-1/3-1=-4/3
定积分结果为F(π/2)-F(0)=π/2+4/3。

Answer 3

这样写没有错，只是过程不同而已，详细过程可以为
第一步：和的平方展开
(cosx+sin2x)^2
=(cosx)^2+(sin2x)^2+2sin2xcosx

第二步：二倍角公式
(cosx)^2+(sin2x)^2
=(1+cos2x)/2+(1-cos4x)/2
=1+(cos2x-cos4x)/2

第三步：积化和差公式
2sin2xcosx=sin3x+sinx

第四步：求积分函数的一个原函数
F(x)=x+sin2x/4-sin4x/8-cos3x/3-cosx

第五步：代入定积分上下限
F(π/2)=π/2+0-0-0-0=π/2
F(0)=0+0-0-1/3-1=-4/3
定积分结果为F(π/2)-F(0)=π/2+4/3

Answer 4

主要思路是三角函数和的平方展开以及三角函数乘积的变换公式。
（cosx+sin2x）^2
=cos^2x+2cosxsin2x+(sin2x)^2
后边就是第二项乘积展开，第三项则用三角函数二倍角公式来降幂。
再代入后进行定积分求解。

Answer 5

先把被积函数的次数降为一次，再求定积分。