Question

已知函数f(x)=kx²+(k+1)x+1(k为常数) ​(1)求f(x)＞0， (2)对于任意x？

已知函数f(x)=kx²+(k+1)x+1(k为常数)
​(1)求f(x)＞0，
(2)对于任意x∈(0，+∝)总有f(x)≤(k+1)x²+5成立，求k的取值范围

Answer 1

过程如图所列

Answer 2

（1）f(x)=(kx+1)(x+1)>0，对k值进行分类讨论；
（2）f(x)≤(k+1)x^2+5对任意x>0均成立，即(k+1)x^2+5-[kx^2+(k+1)x+1]≥0对x>0成立，化简可得x^2-(k+1)x+4≥0对任意x>0成立，令g(x)=x^2-(k+1)x+4，g(x)图像开口向上，讨论二次函数最小值以及对称轴关系即可。

Answer 3

1.化为一个类似于()²±的样子利用b²-4ac求出最小值＞0即证1
2.利用第一题求出的最小值，将第二题所证内容化为一个等式，求证这个等式≥或≤0即可求出可k范围

Answer 4

f(x)=kx²+(k+1)x+1

    =(kx+1)(x+1)

f(x)>0

k<0时 开口向下 -1/k>0>-1

解集：x∈(-1,-1/k)

k=0时 x∈(-1,+∞)

0<k<1时 开口向上 -1/k<-1

解集：x∈(-∞,-1/k)∪(-1,+∞)

k=1时 -1/k=-1→x≠-1

k>1   开口向上 -1/k>-1 

解集x∈(-∞,-1)∪(-1/k,+∞)

（2)令g(x)=f(x)-(k+1)x²-5=-x²+(k+1)x-4=-[x-½(k+1)]²+¼(k+1)²-4≤¼(k+1)²-4

当¼(k+1)²-4≤0→-5≤k≤3时 g(x)<0→f(x)≤(k+1)x²+5恒成立

左侧k=-5，右侧k=2