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如图所示，供参考。
先求齐次方程通解，再求非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解，带入即可获得答案。
是这个答案吗？
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这道题属于高数下 最后一章，微分方程的求解：二阶常系数非齐次微分方程的求解。
①通解：特征方程的根是+-i，通解是C1*cosx+C2*sinx
②特解：设y*=m*cos2x+n*sin2x，带入解出m和n，得y*=2cos2x
所以y=C1*cosx+C2*sinx+2cos2x
再带入两个条件，解出C1 C2即可
①通解：特征方程的根是+-i，通解是C1*cosx+C2*sinx
②特解：设y*=m*cos2x+n*sin2x，带入解出m和n，得y*=2cos2x
所以y=C1*cosx+C2*sinx+2cos2x
再带入两个条件，解出C1 C2即可
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设f(x)的拉氏变换是F(s),那麼对两边取拉氏变换,
s²F(s)-s-1+F(s)=-6s/(s²+4)
化简得F(s)=(s³+s²-2s+4)/(s²+4)(s²+1)
设右边可分解为(as+b)/(s²+4)+(cs+d)/(s²+1)
通分,分子合并同类项,得(a+c)s³+(b+d)s²+(a+4c)s+b+4d
所以有a+c=1,b+d=1,a+4c=-2,b+4d=4
解得a=2,b=0,c=-1,d=1
所以F(s)=2s/(s²+4)-s/(s²+1)+1/(s²+1)
取反变换,得f(x)=2cos2x-cosx+sinx
s²F(s)-s-1+F(s)=-6s/(s²+4)
化简得F(s)=(s³+s²-2s+4)/(s²+4)(s²+1)
设右边可分解为(as+b)/(s²+4)+(cs+d)/(s²+1)
通分,分子合并同类项,得(a+c)s³+(b+d)s²+(a+4c)s+b+4d
所以有a+c=1,b+d=1,a+4c=-2,b+4d=4
解得a=2,b=0,c=-1,d=1
所以F(s)=2s/(s²+4)-s/(s²+1)+1/(s²+1)
取反变换,得f(x)=2cos2x-cosx+sinx
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