Question

数列敛散性的题，求解

图片119题，答案不是很看得懂，求教

Answer 1

这种题目先猜测极限，再考虑“单调有界数列收敛”。
假设极限是a，递推公式两边求极限，得a+√(1-a)＝0，很明显a是负数，解得a=-(1+√5)/2。接下来要验证的就是{an}单调增加且a≤-(1+√5)/2，还是{an}单调减少且a≥-(1+√5)/2？
解：由递推公式，n≥2时，an≤0。用归纳法可证明：n≥2时，{an}单调减少且a≥-(1+√5)/2，略。所以{an}单调且有界，所以an有极限，设为a。
递推公式两边求极限，得a+√(1-a)＝0，根据极限保号性，a≤0，解得a=-(1+√5)/2。