求幂级数∑(n=0∞)x^(2n+1)/(2n)! 的收敛域及和函数
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分享一种解法。∵ρ=lim(n→∞)丨(an+1)/an丨=lim(n→∞)1/[(2n+2)(2n+1)]=0，∴R=1/ρ=∞。∴其收敛域为x∈R。
设S(x)=∑[x^(2n)]/(2n)!，n=0,1,2，…，∞。显然，原式=xS(x)。
由S(x)=∑[x^(2n)]/(2n)!，两次对x求导，可得S''(x)=S(x)，即S''(x)-S(x)=0。是S(x)的二阶常系数微分方程。其特征根为±1，∴其通解为S(x)=(c1)e^x+(c2)e^(-x)。
又，S(0)=1，S'(0)=1。解得c1=c2=1/2。∴原式=(x/2)[e^x+e^(-x)]。
供参考。
设S(x)=∑[x^(2n)]/(2n)!，n=0,1,2，…，∞。显然，原式=xS(x)。
由S(x)=∑[x^(2n)]/(2n)!，两次对x求导，可得S''(x)=S(x)，即S''(x)-S(x)=0。是S(x)的二阶常系数微分方程。其特征根为±1，∴其通解为S(x)=(c1)e^x+(c2)e^(-x)。
又，S(0)=1，S'(0)=1。解得c1=c2=1/2。∴原式=(x/2)[e^x+e^(-x)]。
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