Question

高数积分求解

求详细步骤

Answer 1

解:注意到:偶函数对称区间的积分等于2倍函数在其半区间的积分;奇函数的对称区间积分为0。
原式=2∫[(-2,2)(3-y)/(5-2y)^(3/2)]dy∫(0,√(4-y^2)) √(4-y^2-x^2)dx
=∫[(-2,2)(3-y)/(5-2y)^(3/2)]dy[x√(4-y^2-x^2)+(4-y^2)arcsin[x/√(4-y^2)](0,√(4-y^2))
=(1/2)[(-2,2)[(6-2y)/(5-2y)^(3/2)]*[(π/2)(4-y^2)]dy
=(π/4)∫(-2,2)[1/√(5-2y)+1/(5-2y)^(3/2)]*[(π/2)(4-y^2)]dy
=(π/4)∫(-2,2)[(2+y)(2-y)/√(5-2y)+(2+y)(2-y)/(5-2y)^(3/2)]dy
=(π/4)*(1/2)∫(-2,2)[(2+y)(4-2y+1-1)/√(5-2y)+(2+y)(4-2y)/(5-2y)^(3/2)]dy
=(π/8)∫(-2,2)[(2+y)√(5-2y)-(2+y)/√(5-2y)+(2+y)/√(5-2y)-(4-2y)/(5-2y)^(3/2)]dy
=(π/8)∫(-2,2)[(2+y)√(5-2y)-1/√(5-2y)+1/(5-2y)^(3/2)]dy
=(π/8)∫(-2,2)[7√(5-2y)-(5-2y)^(3/2)-1/√(5-2y)+1/(5-2y)^(3/2)](-1/2)d(5-2y)
=(-π/16){(14/3)(5-2y)^(3/2)-(2/5)√(5-2y)^(5/2)-(1/2)√(5-2y)-1/[2√(5-2y)]}(-2,2)
=(-π/16)[(14/3)(1-3^3)-(2/5)(1-3^5)-(1/2)(1-3+1-1/3)]
=(π/16)(14*26/3-2/3-484/5)=(π/16)(222*5-484*3)/15;
这道题的数值比较复杂，本题只提供解题思路，计算可能会有错误，所以答案可以自己计算。本人现在计算能力非常糟糕，自己对自己都不满意，因此，仅供参考。不需要采纳。

追问

谢谢

Answer 2

可化为极坐标。
不过对你题目的正确性有疑虑，请附印刷版原题图片。

追问

追答

解答有详解啊。只是这一步
J = ∫√(4-x^2-y^2)dx = ∫√[(4-y^2)-x^2]dx
令 x = √(4-y^2)sint， 则 dx = √(4-y^2)costdt
J = (4-y^2)∫(cost)^2dt = (1/2)(4-y^2)∫(1+cos2t)dt
= (1/2)(4-y^2)(t+(1/2)sin2t) = (1/2)(4-y^2)(t+sintcost)
= (1/2)(4-y^2){arcsin[x/√(4-y^2)]+x√(4-x^2-y^2)/(4-y^2)}
代入上下限， 得
(1/2)(4-y^2)(arcsin1+0) - (1/2)(4-y^2)(-arcsin1+0) = (π/2)(4-y^2)
即得第 7 行式子。

Answer 3

分享一种解法。①先求∫(-√(4-y²),√(4-y²))√(4-x²-y²)dx。根据定积分的几何意义，可知其可视为“半径a=√(4-y²)、以(0,0)为圆心”的圆的半圆的面积。
∴∫(-√(4-y²),√(4-y²))√(4-x²-y²)dx=(π/2)(4-y²)。∴原式=(π/2)∫(-2,2)(3-y)(4-y²)dy/(5-2y)^(3/2)。
②用“凑微分+分部积分法”。∫(-2,2)(3-y)(4-y²)dy/(5-2y)^(3/2)=∫(-2,2)(3-y)(4-y²)d[1/√(5-2y)]=-∫(-2,2)(3y²-6y-4)dy/√(5-2y)=∫(-2,2)(3y²-6y-4)d[√(5-2y)]=-64-6∫(-2,2)(y-1)√(5-2y)dy。
③对∫(-2,2)(y-1)√(5-2y)dy，设√(5-2y)=t。∴∫(-2,2)(y-1)√(5-2y)dy=(1/2)∫(1,3)(3-t²)t²dt=-56/5。
∴原式=16π/10。
供参考。

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