Question

关于导函数与原函数存在问题？

如图红线所示，注1写的是f(x)有跳跃间断点的话，一定不存在原函数。而下面注写的是f(x)有跳跃间断点，F(x)连续。这不是矛盾的么，原函数都不存在还怎么连续？还是说下面注群体到的F(x)只是定积分而不是原函数？

Answer 1

函数可积和存在原函数不是一回事。当函数连续或存在有限个第一类间断点时，可积；当函数含有第一类间断点时无原函数，存在第二类间断点时可能有原函数。

当被积函数f(x)可积时，F(x)连续，F(x)与f(x)的关系如下图

Answer 2

原函数的定义一般是 F'(x)=f(x) 在 f 定义域内的每一点都成立。如果有间断点的函数f有原函数F，则F' 在间断点x_0左右极限必然是不相等的，这个就会出现在那一点极限不存在故而不等于f(x_0),因此不是f 的原函数。至于他说的F只是表示它的定积分而不表示原函数。

Answer 3

第二条的条件多一些，虽有间断跳跃点，但左极限=右极限，只是在间断点处f值不同。条件与第一个注释有差别。

Answer 4

这不是同一个题目哦，上面间断点是3.1.2命题的注2，下面那个是3.1.3命题的注