Question

证明：方程X 5－5X＋1=0有且仅有一个小于1的正实根

Answer 1

这是高数上册关于中值定理的题，呵呵，恰巧我刚好看过这道题，有印象。
证:

1)
存在性

设f(x)=X
5
－5X＋1则f(x)在
[0
,
1
]
连续
,
且f(0)=1,f(1)=-3

由介值定理知存在使 X
0
属于（0，1），f（X
0
）=0
即方程有小于
1
的正根

2)
唯一性
.

假设另有 X
1
属于（0，1） ，X
1
不等于 X
0 ，

使f（X
1
）=0，因为f（x）在 X
0 ，
X
1
为端点的区间满足罗尔定理条件 ，

所以 在 X
0 ，
X
1
之间至少存在一点y，使f‘(y)=0.

但f‘(y)=5（x
4
-1）<0,
x属于（0，1）。

矛盾,
故假设不真!