Question

如图所示,在梯形ABCD中,AD//BC,BC=BD=1,AB=AC,CD<1,且∠BAC+∠BDC=180°，求CD长

Answer 1

证明：设AB=AC=1,则BC=BD=√2,且S△ABC=1/2.
过C点作CF⊥BD于F点。由于：S△ABC=S△BCD,即S△ABC=(1/2)*BD*CF
而S△ABC=1/2,BD=√2,
所以：1/2=(1/2)(√2)CF,即CF=(√2)/2
在△BCF中，由勾股定理得：BF=(√6)/2
所以：FD=BD-BF=(√2)-[(√6)/2]
设EF=x,AE=y.
由于：
S△ABE=S△ECD,
S△ABE=(1/2)y,
S△DCE=(1/2)*[(√2)/2]{x+(√2)-[(√6)/2]}=[(√2)x+2-(√3)]/4
所以：y=[(√2)x+2-(√3)]/2---------------------(1)
由于：△ABE和△FCE相似所以：[(√2)/2]/1=x/y,即y=(√2)x---------------(2)
解由等式（1）和等式（2）组成的方程组得：x=[√2)-[(√6)/2],
即EF=[√2)-[(√6)/2],
所以：EF=FD
而CF⊥EF
所以：CD=CE

Answer 2

证明
∵BC=BD
∴∠BCD=∠BDC
∴∠BCA=∠ACD=90-a/2
又∵∠DAC=∠BCA
∴∠DAC=∠ACD,AD=DC
∴△ABC∽△ACD
∴AB:BC=CD:AC
设CD=x
则AB
2 =X
过D点作DE//AC交BC于E
过A,D点作BC地垂线
利用勾股定理列方程解得X=根号2减1