Question

偏导数全微分有关问题

Answer 1

解：
fx(0,0)
=lim(Δx→0)
[f(Δx,0)-f(0,0)]/Δx
=lim(Δx→0)
|Δx|φ(Δx,0)/Δx
=lim(Δx→0)
±φ(Δx,0)
上式成立，必须：
lim(Δx→0+)
φ(Δx,0)
=
lim(Δx→0-)
-φ(Δx,0)
只能是：
lim(Δx→0)
φ(Δx,0)=0
同理：
fy(0,0)
=lim(Δx→0)
±φ(0,Δy)
lim(Δy→0)
φ(0,Δy)=0
综上，若要fx(0,0),fy(0,0)存在，必须是：φ(0,0)=0
2)满足1）时，fx(0,0)=fy(0,0)=0
∴
Δf
=f(Δx+0,Δy+0)-f(0,0)
=fx(0,0)Δx+fy(0,0)Δy+o(√Δx²+Δy²)
=o(√Δx²+Δy²)
lim(Δx,Δy→0)
o(√Δx²+Δy²)/√(Δx²+Δy²)
=lim(Δx,Δy→0)
|Δx-Δy|φ(Δx,Δy)/√(Δx²+Δy²)
∵
lim(Δx,Δy→0)
φ(Δx,Δy)
=0，于是：
φ(Δx,Δy)
=o'[√(Δx²+Δy²)]，其中o'[√(Δx²+Δy²)]是关于√(Δx²+Δy²)的高阶无穷小，即：
lim(Δx,Δy→0)
o'[√(Δx²+Δy²)]/√(Δx²+Δy²)
=0
因此：
lim(Δx,Δy→0)
o(√Δx²+Δy²)/√(Δx²+Δy²)
=lim(Δx,Δy→0)
|Δx-Δy|φ(Δx,Δy)/√(Δx²+Δy²)
=lim(Δx,Δy→0)
|Δx-Δy|·0
=0
∴可微