Question

求数列的通项公式的方法

Answer 1

构造法求数列的通项公式
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.
供参考。
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例1
设各项均为正数的数列
的前n项和为Sn，对于任意正整数n，都有等式：
成立，求
的通项an.
解：
，
∴

，∵
，∴
.

即
是以2为公差的等差数列，且
.

∴
例2
数列
中前n项的和
，求数列的通项公式
.
解：∵

当n≥2时，

令
，则
，且

是以
为公比的等比数列，

∴
.
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例3
设
是首项为1的正项数列，且
，（n∈N*），求数列的通项公式an.
解：由题设得
.

∵
，
，∴
.
∴

.
例4
数列
中，
，且
，（n∈N*），求通项公式an.
解：∵

∴
（n∈N*）
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例5
数列
中，
，前n项的和
，求
.
解：

，
∴

∴
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例6
设正项数列
满足
，
（n≥2）.求数列
的通项公式.
解：两边取对数得：
，
，设
，则
是以2为公比的等比数列，
.
，
，
，
∴

Answer 2

在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。
　　求数列通项公式常用以下几种方法：
　　一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
　　例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。
　　解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
　　二、已知数列的前n项和，用公式
　　S1 (n=1)
　　Sn-Sn-1 (n2)
　　例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5
　　(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
　　解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)
　　此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
　　三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
　　例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
　　解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，Sn= -，
　　再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，
　　- (n=1)
　　- (n2)
　　四、用累加、累积的方法求通项公式
　　对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
　　例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式
　　解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
　　又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴ -=-，
　　又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
　　题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
　　例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
　　(1)求{an}通项公式 (2)略
　　解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)
　　∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
　　由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-
　　又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。
　　证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)
　　由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
　　所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
　　若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
　　又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略
　　解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
　　解题方略