Question

如何理解矩阵合同的充要条件？

书上说，矩阵合同的充要条件是：实对称矩阵合同的充要条件是：二次型x^TAx和x^TBx有相同的正负惯性指数，请问如何证明？

Answer 1

二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。相似矩阵与合同矩阵的秩都相同。

设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何一非零实向量X，都使二次型f(X)= X′MX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵。一种实对称矩阵。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(=A′)称为正定矩阵。

判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 　

判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 　

判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

扩展资料：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；

4、合同矩阵的秩相同。

5、矩阵合同的主要判别法：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同；设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

Answer 2

必要性
如果实对称矩阵A与B合同，由定义存在可逆矩阵C,(C^T)AC=B,令X=CY,代入二次型X^TAX即得Y^TBY，也就是第一个二次型由可逆线性变换X=CY化为第二个二次型，所以他们可以化成相同标准形(可逆线性变换可以复合)，从而有相同的正负惯性指数
充分性
设两个二次型X^TAX与Y^TBY有相同的正负惯性指数，由于二次型的规范型维一，所以它们有相同的规范型，设规范型的矩阵为H, 则A和B都与H合同，由于合同关系有对称性和传递性，故A与B合同

写得比较简单，详细可看教材

Answer 3

实二次型可以经过非退化线性替换化为标准型，进而化为特殊标准型：各项系数绝对值为1（只需将刚才的变换矩阵再乘以一个对角阵）。如果两个实二次型有相同的正负惯性指数，那么他们均可经过非退化线性变换化为相同的标准型。故矩阵A与B合同。可参考《高等代数》第三版，北大几何与代数教研室前代数小组编，高等教育出版社出版。P205，二次型一章……

Answer 4

Answer 5