Question

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)是二次函数,满足条件f(0)=0

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)是二次函数,满足条件f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1 (1)求f(x)在R上的解析式 (题目都没看懂啊，满足条件f(0)=0是在当x>0时情况下吗?如果是这样，题目说了x>0为什么还会有f(0)=0?还有就是f(x+1)=f(x)+x+1是在x>0时的情况下吗?

Answer 1

设x>0时f(x)=ax^+bx,
由f(x+1)=f(x)+x+1得
a(x^+2x+1)+b(x+1)=ax^+bx+x+1,
比较系数得2a+b=b+1,a+b=1,
解得a=b=1/2.
∴f(x)=(1/2)(x^+x),x>0;
f(x)是定义在R上的奇函数,
∴x<0时-x>0,f(x)=-f(-x)=-(1/2)(x^-x).
综上，f(x)={(1/2)(x^+x),x>=0;
{-(1/2)(x^-x),x<0.
满足条件f(0)=0是在当x>=0时情况下的。
f(x+1)=f(x)+x+1是在x>0时的情况下的。