Question

已知a,b,c是互不相等的正数，求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

Answer 1

已知a
b
c是互不相等的正数
求证
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
证明
如果了解柯西不等式,那么很简单
(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
<==>
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c).
附证
设2x=a+b,2y=b+c,2z=c+a,则所证不等式等价于
1/x+1/y+1/z>9/(x+y+z)
<==>
(x+y+z)/x+(x+y+z)/y+(x+y+z)/z>9
<==>
y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>6
<==>
(y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(y/z+z/y)>6.
因为
y/x+x/y>2,z/x+x/z>2,y/z+z/y>2.
所以上式显然成立.