Question

求数列通项公式的方法大全

Answer 1

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an
1=an
2(n1)，求该数列的通项公式an。
解：由an
1=an
2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
s1
(n=1)
sn-sn-1
(n2)
例：已知数列{an}的前n项和sn=n2-9n，第k项满足5
(a)
9
(b)
8
(c)
7
(d)
6
解：∵an=sn-sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8
∴k=8
选
(b)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与sn的关系时，通常用转化的方法，先求出sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和sn满足an=snsn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=snsn-1(n2)，而an=sn-sn-1，snsn-1=sn-sn-1，两边同除以snsn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}
是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-=
-，sn=
-，
再用(二)的方法：当n2时，an=sn-sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，
-
(n=1)
-
(n2)
四、用累加、累积的方法求通项公式
对于题中给出an与an
1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n
1)an
12-nan2
an
1an=0，求数列{an}的通项公式
解：∵(n
1)an
12-nan2
an
1an=0，可分解为[(n
1)an
1-nan](an
1
an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an
1
an
≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴
-=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈n*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有
an(或sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1＝2，an
1=(--1)(an
2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式
(2)略
解：由an
1=(--1)(an
2)得到an
1--＝
(--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)
，于是an=(--1)n-1(2--)
-
又例：在数列{an}中，a1=2，an
1=4an-3n
1(n∈n*)，证明数列{an-n}是等比数列。
证明：本题即证an
1-(n
1)=q(an-n)
(q为非0常数)
由an
1=4an-3n
1，可变形为an
1-(n
1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

Answer 2

构造法求数列的通项公式
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.
供参考。
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例1
设各项均为正数的数列
的前n项和为Sn，对于任意正整数n，都有等式：
成立，求
的通项an.
解：
，
∴
，∵
，∴
.
即
是以2为公差的等差数列，且
.
∴
例2
数列
中前n项的和
，求数列的通项公式
.
解：∵
当n≥2时，
令
，则
，且
是以
为公比的等比数列，
∴
.
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例3
设
是首项为1的正项数列，且
，（n∈N*），求数列的通项公式an.
解：由题设得
.
∵
，
，∴
.
∴
.
例4
数列
中，
，且
，（n∈N*），求通项公式an.
解：∵
∴
（n∈N*）
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例5
数列
中，
，前n项的和
，求
.
解：
，
∴
∴
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例6
设正项数列
满足
，
（n≥2）.求数列
的通项公式.
解：两边取对数得：
，
，设
，则
是以2为公比的等比数列，
.
，
，
，
∴
例7
已知数列
中，
，n≥2时
，求通项公式.
解：∵
，两边取倒数得
.
可化为等差数列关系式.
∴