Question

洛必达法则的使用条件和另外两个问题

Answer 1

1.这两种说法有点区别。比如说，f(x)=|x|,其在
x=0
的去心范围内
f'(x)
存在，但是
x
从正负趋于零时，f'(x)
取值为正负
1
故不存在，也即在
x=0
点是不能求导的。有连续的一阶导数，就是说
f(x)
在
x=0
的领域内均可导，这时就可以用洛必达法则了。所以参考书上的解析是对书本的补充，是更精确的解释。
2.肯定是连续的一阶导数。根据函数求导及连续性的相关结论，函数由二阶的连续代数，则其必有一阶的连续导数。
3.从方程形态来看，这是泰勒级数的展开式的一部分，假设后边二阶导什么的都趋于无穷小，则此时
f'(x)
>
f(0)
+
xf'(x),因为
f'(x)为单调增，所以可以将
f'(x)
校正成为
f'(m(x)x),使得上述成为等式，该
m(x)
肯定唯一。

Answer 2

1.
课本上的正确。解析书上的是更苛刻的条件，因为
“具有连续的一阶导数”可以推出课本上的条件，可是课本上的条件意味着，即使函数不具有连续的一阶导数，只要在一个去心邻域内f'(x)存在，就可以考虑洛必达法则。
换句话说，参考书的解析写错了。（因为你说解析写的是“才可以”使用，实际上不满足他的条件也有可能可以使用。）
2.
可以，因为具有二阶连续导数说明在(-1,1)上二阶导数存在
即f'(x)在(-1,1)上可导，所以f'(x)在(-1,1)上连续。
3.
为什么m(x)唯一？
如果存在
n(x)
也满足该方程的话，
即
f(x)=f(0)+xf'(m(x)x)
f(x)=f(0)+xf'(n(x)x)
同时成立
相减得
0
=
xf'(m(x)x)
-
xf'(n(x)x)
由于
x
属于
(0,1),
所以x不等于零，可以约掉。得：
f'(m(x)x)
=
f'(n(x)x)
又由于f'
单调递增
--
其实应该说是严格单调递增
--
可知f'为单射，所以：
m(x)x
=
n(x)x
再次约掉x,
得到m(x)=n(x),
这就说明m(x)唯一

Answer 3

书上说的洛必达的条件只要求可导，但是导函数有可能不连续，洛必达求的是极限这样洛必达会失效，所以参考资料补充导数连续后会避免上面的失效，两个条件中后者更强的应用性
2，记住可导必连续既然二阶倒数都连续了一阶必连续并可导
3f'(mx)=f(x)-f(0)/x,既然f'(x)是单调的对于某个x,mx必唯一，m自然唯一，不懂可以反证